第4講統計的検定

一様最強力検定

$\varTheta$ を母数空間とし，

Θ_{0} \subset Θ

$\begin{equation} \varTheta_0 \subset \varTheta \end{equation}$

Θ_{1} \subset Θ

$\begin{equation} \varTheta_1 \subset \varTheta \end{equation}$

とする．ただし，

Θ = Θ_{0} \cup Θ_{1}

$\begin{equation} \varTheta = \varTheta_0 \cup \varTheta_1 \end{equation}$

Θ_{0} \cap Θ_{1} = ϕ

$\begin{equation} \varTheta_0 \cap \varTheta_1 = \phi \end{equation}$

ことのき，次の仮説を考える．

H_{0} : θ \in Θ_{0}

$\begin{equation} H_0~:~\theta \in \varTheta_0 \end{equation}$

H_{1} : θ \in Θ_{1}

$\begin{equation} H_1~:~\theta \in \varTheta_1 \end{equation}$

δ

$\delta$ を任意の有意水準

α

$\alpha$ の検定とし，

β_{δ}

$\beta_{\delta}$ を検出力関数とする．すなわち，

H_{0}

$H_0$ の棄却域を

R

$R$ とすると，

^{\forall} θ \in Θ_{0}, β_{δ} (θ) = P_{δ} (X \in R ∣ θ) \leq α

$\begin{equation} {}^{\forall}\theta \in \varTheta_0,~~~~\beta_{\delta}(\theta) = P_{\delta}(\bm{X} \in R \mid \theta) \le \alpha \end{equation}$

有意水準

α

$\alpha$ の検定

δ^{*}

$\delta^*$ が一様最強力検定 (UMP)であるとは，

^{\forall} θ \in Θ_{1}, β_{δ^{*}} (θ) \geq β_{δ} (θ)

$\begin{equation} {}^{\forall}\theta \in \varTheta_1,~~~~\beta_{\delta^*}(\theta) \ge \beta_{\delta}(\theta) \end{equation}$

が成立することである．