第4講統計的検定

母相関係数の検定と推定

統計量

標本相関係数 $r$ は，中心極限定理より漸近正規性がある．しかし， $r$ が 1 に近いときには，標本サイズが極めて大きいときを除いて，その標本分布は歪んだ形になる．このような分布を正規分布で近似するため，次のような変換をして正規近似を行う．

ζ (r) = \frac{1}{2} \log \frac{1 + r}{1 - r}

$\begin{equation} \zeta(r) = \frac{1}{2}\log\frac{1 + r}{1 - r} \end{equation}$

これを用いれば，

ρ

$\rho$ を母相関係数とすると，

ζ (r) \sim N (ζ (ρ), \frac{1}{n - 3})

$\begin{equation} \zeta(r) \sim N\left(\zeta(\rho),~\frac{1}{n-3}\right) \end{equation}$

であることが知られている．

T = \frac{ζ (ρ) - ζ (ρ_{0})}{\sqrt{\frac{1}{n - 3}}} \sim N (0, 1)

$\begin{equation} T = \frac{\ds \zeta(\rho) - \zeta(\rho_0)}{\ds\sqrt{\frac{1}{n-3}}} \sim N(0, 1) \end{equation}$

検定

$H_{0}:~\rho = \rho_{0}~~~~H_{1}:~\rho_ \ne \rho_{0}$

| T | > z_{\frac{α}{2}}

$\begin{equation} |T| > z_{\frac{\alpha}{2}} \end{equation}$

$H_{0}:~\rho = \rho_{0}~~~~H_{1}:~\rho > \rho_{0}$

T > z_{α}

$\begin{equation} T > z_{\alpha} \end{equation}$

$H_{0}:~\rho = \rho_{0}~~~~H_{1}:~\rho < \rho_{0}$

T < - z_{α}

$\begin{equation} T < -z_{\alpha} \end{equation}$

区間推定

ζ^{- 1} (ζ (ρ) - \frac{z_{\frac{α}{2}}}{\sqrt{n - 3}}) < ρ_{0} < ζ^{- 1} (ζ (ρ) + \frac{z_{\frac{α}{2}}}{\sqrt{n - 3}})

$\begin{equation} \zeta^{-1}\left(\zeta(\rho)-\frac{z_{\frac{\alpha}{2}}}{\sqrt{n-3}}\right) < \rho_0 < \zeta^{-1}\left(\zeta(\rho)+\frac{z_{\frac{\alpha}{2}}}{\sqrt{n-3}}\right) \end{equation}$

ζ^{- 1}

$\zeta^{-1}$ は

z

$z$ 変換表より求めることができる．

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検定

区間推定

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