第2講確率分布

多項分布

ある試行によって，排反事象 $A_1,~A_2,~\ldots,~A_k$ のうちどれか起こり， $P(A_i) = p_i$ とする．この試行を独立に $N$ 回繰り返すとき， $A_i$ の起こる回数を $X_i$ をすれば， $(X_1,~X_2,~\ldots,~X_k)$ は多項分布 $M(n, p_1, p_2, \ldots, p_k)$ に従う．二項分布を多次元に一般化した分布．二項分布のコイン投げをサイコロ投げに変えたと考えれば良い．

X \sim M (n, p_{1}, p_{2}, \dots, p_{k})

$\begin{equation} X \sim M(n, p_1, p_2, \ldots, p_k) \end{equation}$

P (X_{1} = n_{1}, \dots, X_{k} = n_{k}) = \frac{n!}{n_{1}! \dots n_{k}!} p_{1}^{n_{1}} \dots p_{k}^{n_{k}}

$\begin{equation} P(X_{1}=n_{1},\ldots,X_{k}=n_{k}) = \frac{n!}{n_{1}!\cdots n_{k}!}p_{1}^{n_{1}}\cdots p_{k}^{n_{k}} \end{equation}$

p_{1} + \dots + p_{k} = 1

$\begin{equation} p_{1} + \cdots + p_{k}=1 \end{equation}$

X_{1} + \dots + X_{k} = n

$\begin{equation} X_{1} + \cdots + X_{k}=n \end{equation}$

E [X_{i}] = n p_{i}

$\begin{equation} E[X_{i}] = np_{i} \end{equation}$

V [X_{i}] = n p_{i} (1 - p_{i})

$\begin{equation} V[X_{i}] = np_{i}(1-p_{i}) \end{equation}$

C o v [X_{i}, X_{j}] = - n p_{i} p_{j}

$\begin{equation} Cov[X_{i},X_{j}] = -np_{i}p_{j} \end{equation}$

第2講 確率分布

多項分布

第2講確率分布