第2講 確率分布

二項分布

1回の試行で事象 A の起こる確率が p の試行を,独立に n 回繰り返すとき, 事象 A の起こる回数 X は二項分布 Bin(n,p) に従う.

XBin(n,p)
P(X=k)=nCkpk(1p)nk    k=0,1,2,,n
E[X]=np
V[X]=np(1p)
MX(t)=(petp+1)n

再生性

XBi(n1,p),  YBi(n2,p) で独立のとき,

X+YBi(n1+n2,p)

正規近似

XB(n, p)
のとき,n が十分大ならば,
XN(np, np(1p))
半整数補正は次のようにする.
P(aXb)=P(a12<X<b+12)

補足1: E[X] の計算

E[X]=x=0nxnCxpx(1p)nx=x=1nxnCxpx(1p)nx=x=1nxn!x!(nx)!px(1p)nx=npx=1n(n1)!(x1)!{(n1)(x1)}!px1(1p)(n1)(x1)=npy=0n1(n1)!y!{(n1)y}!py(1p)(n1)y    (y=x1)=np

補足2: V[X] の計算

E[X(X1)]=x=0nx(x1)nCxpx(1p)nx=x=2nx(x1)nCxpx(1p)nx=x=2nx(x1)n!x!(nx)!px(1p)nx=n(n1)p2x=2n(n2)!(x2)!{(n2)(x2)}!px2(1p)(n2)(x2)=n(n1)p2y=0n2(n2)!y!{(n2)y}!py(1p)(n2)y    (y=x2)=n(n1)p2
V[X]=E[X(X1)]+E[X](E[X])2=n(n1)p2+np(np)2=n2p2np2+npn2p2=np2+np=np(p+1)=np(1p)

補足3: MX(t) の計算

MX(t)=E[eXt]=k=0nektnCkpk(1p)nk=k=0nnCk(pet)k(1p)nk={pet+(1p)}n=(petp+1)n