第2講 確率分布

アーラン分布

X1,,Xn が独立に平均 1λ の指数分布に従うとき, X=X1++Xn は位相 n のアーラン分布に従う.

XEr(n,λ)

アーラン分布はガンマ分布で形状母数 α を正整数に限定したものである.

f(x)={λn(n1)!xn1eλx(x0)0(x<0)
E[X]=nλV[X]=nλ2

ポアソン分布との関係

単位時間あたりの事象の発生回数の平均が λt 時間あたりの発生回数を NtPo(tλ) とすると,

NtPo(λt)  (t>0)
また,n 回目の事象が発生した時間を Sn とすると,
SnEr(n,λ)
である.このとき,
P(Snt)=P(Ntn)
が成立する. 「 n 回目の事象が発生した時間が t 以前である」という事象は,言い換えると, 「時間 t までに少なくとも n 回の事象が起きている」という事象と等しい.

そこで,P(Nt=n) を求めてみる.

P(Nt=n)=P(Ntn)P(Ntn+1)=P(Snt)P(Sn+1t)
ここで,Sn+1Ga(n+1,λ) であるので,
P(Sn+1t)=0tλn+1Γ(n+1)x(n+1)1eλxdx=0tλn+1n!xneλxdx=[λnn!xneλx]0t+0tλn(n1)!xn1eλxdx=(λt)nn!eλt+P(Snt)
よって,
P(Nt=n)=(λt)nn!eλt