第2講確率分布

超幾何分布

袋に $N$ 個の球が入っている． $M$ 個は白玉， $N-M$ 個は黒玉．袋から $n$ 個の球を抜き出した時の白玉の数 $X$ は超幾何分布 $HG(N, M, n)$ に従う．

X \sim H G (N, M, n)

$\begin{equation} X \sim HG(N, M, n) \end{equation}$

P (X = k) = \frac{_{M} C_{k}_{N - M} C_{n - k}}{_{N} C_{n}} (k = 0, 1, \dots, n)

$\begin{equation} P(X=k) = \frac{{}_{M}C_{k}~{}_{N-M}C_{n-k}}{{}_{N}C_{n}}~~~~(k = 0, 1, \ldots, n) \end{equation}$

E [X] = n \frac{M}{N}

$\begin{equation} E[X] = n\frac{M}{N} \end{equation}$

V [X] = n \frac{M}{N} (1 - \frac{M}{N}) \frac{N - n}{N - 1}

$\begin{equation} V[X] = n\frac{M}{N}\left(1-\frac{M}{N}\right)\frac{N-n}{N-1} \end{equation}$

p = \frac{M}{N}

$p = \dfrac{M}{N}$ とおけば，超幾何分布の分散は，二項分布の分散の形に似ていることがわかる．

\frac{N - n}{N - 1}

$\dfrac{N-n}{N-1}$ は，有限修正を意味している．

N \to \infty

$N \to \infty$ とすれば，

\frac{N - n}{N - 1} \to 1

$\dfrac{N-n}{N-1} \to 1$ となり，二項分布の分散に一致する．

$\ds p = \frac{M}{N},~q = 1- p$ とおく．

lim_{N \to \infty} \frac{_{N p} C_{k}_{N q} C_{n - k}}{_{N} C_{n}} =_{n} C_{k} p^{k} q^{k - 1}

$\begin{equation} \lim_{N \to \infty}\frac{{}_{Np}C_{k}~{}_{Nq}C_{n-k}}{{}_{N}C_{n}} = {}_{n}C_{k}p^k q^{k-1} \end{equation}$