$\newcommand{\ds}{\displaystyle}$ $\newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}}$

統計検定 準1級 過去問 解答/解答例と解説
2018年06月17日 (日) 試験

選択問題及び部分記述問題 問2

問題の要約
  • あるグループ 10人

  • 関東地方出身者 : 5人

  • 関東地方以外の出身 : 5人

  • 無作為非復元抽出する

    \begin{equation} X_i = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & i \text{番目の人は関東地方の出身者} \\ 0, & i \text{番目の人は関東地方以外の出身者} \end{array} \right. \\ i = 1, 2, 3, 4, 5 \end{equation}

  1. $E[{X_i}^2]$ を求めよ

  2. $E[X_i,~X_j]~(i \ne j)$ を求めよ

  3. 標本平均 $\ds \bar{X} = \frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}X_i$ の分散 $V[\bar{X}]$ を求めよ

解答
  1. 答 : $\frac{1}{2}$

    あるグループに属するメンバをメンバ番号 $k = 1,~\ldots,~10$ で識別するとし, $i$ 番目に選ばれたメンバを確率変数 $Y_i$ とおく. また,$N = 10,~n = 5$ とおくと,

    \begin{align} P(Y_i = k) &= \frac{_{N-1}P_{n-1}}{_{N}P_{n}} \\ &= \frac{(N-1)!}{\{N-1 - (n-1)\}!} \frac{(N - n)!}{N!} \\ &= \frac{(N-1)!}{(N - n)!} \frac{(N - n)!}{N!} \\ &= \frac{(N-1)!}{N!} \\ &= \frac{1}{N} \end{align}
    ここで,一般性を失うことなく,$k = 1,~\cdots,~5$ は関東地方の出身者, $k = 6, \ldots, 10$ は関東地方以外の出身者であるとすると,
    \begin{align} P(X_i = 1) &= \sum_{k=1}^{5}P(Y_i = k) \\ &= 5 \times \frac{1}{N} \\ &= 5 \times \frac{1}{10} \\ &= \frac{1}{2} \end{align}
    \begin{align} P(X_i = 0) &= 1 - P(X_i = 1) \\ &= 1 - \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{2} \end{align}
    \begin{align} X[{X_i}^2] &= \sum_{x \in \{0, 1\}}x^2~P(X_i = x) \\ &= 0^2 \times ~P(X_i = 0) + 1^2 \times ~P(X_i = 1) \\ &= 0 \times ~\frac{1}{2} + 1 \times ~\frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{2} \end{align}

  2. 答 : $\frac{2}{9}$

    \begin{align} P(Y_i = k_i,~Y_j = k_j) &= \frac{_{N-2}P_{n-2}}{_{N}P_{n}} \\ &= \frac{(N-2)!}{\{(N-2) - (n-2)\}!} \frac{(N - n)!}{N!} \\ &= \frac{(N-2)!}{(N - n)!} \frac{(N - n)!}{N!} \\ &= \frac{(N-2)!}{N!} \\ &= \frac{1}{N(N-1)} \end{align}
    \begin{align} P(X_i = 1,~X_j = 1) &= \sum_{k_i=1}^{5}\sum_{k_j \ne k_i}P(Y_i = k_i,~Y_j = k_j) \\ &= \sum_{k_i=1}^{5}\sum_{k_j \ne k_i}\frac{1}{N(N-1)} \\ &= \sum_{k_i=1}^{5}\frac{4}{N(N-1)} \\ &= \frac{20}{N(N-1)} \\ &= \frac{20}{10 \times 9} \\ &= \frac{2}{9} \end{align}
    \begin{align} E[X_i X_j] &= \sum_{x_i \in \{0, 1\}}\sum_{x_j \in \{0, 1\}}x_i~x_j~P(X_i = x_i,~X_j = x_j) \\ &= 1 \times 1 \times P(X_i = 1,~X_j = 1) \\ &= \frac{2}{9} \end{align}

  3. 答 : $\frac{1}{36}$

    \begin{align} E[X_i] &= \sum_{x \in \{0, 1\}}x~P(X_i = x) \\ &= 0 \times ~P(X_i = 0) + 1 \times ~P(X_i = 1) \\ &= 0 \times ~\frac{1}{2} + 1 \times ~\frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{2} \end{align}
    \begin{align} V[X_i] &= E[{X_i}^2] - (E[X_i])^2 \\ &= \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \\ &= \frac{1}{4} \end{align}
    \begin{align} Cov[X_i,~X_j] &= E[X_i X_j] - E[X_i] E[X_j] \\ &= \frac{2}{9} - \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \\ &= \frac{2}{9} - \frac{1}{4} \\ &= \frac{8 - 9}{36} \\ &= -\frac{1}{36} \end{align}
    \begin{align} V\left[\bar{X}\right] &= V\left[\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}X_i\right] \\ &= \frac{1}{25}V\left[\sum_{i=1}^{5}X_i\right] \\ &= \frac{1}{25}\left\{\sum_{i=1}^{5}V[X_i] + \sum_{i \ne j} Cov[X_i,~X_j]\right\} \\ &= \frac{1}{25}\left\{\sum_{i=1}^{5}\frac{1}{4} + \sum_{i \ne j}\left(-\frac{1}{36}\right)\right\} \\ &= \frac{1}{25}\left\{5 \times \frac{1}{4} + 5 (5 -1) \times \left(-\frac{1}{36}\right)\right\} \\ &= \frac{1}{25}\left\{\frac{5}{4} - \frac{20}{36}\right\} \\ &= \frac{1}{25}\left\{\frac{45 - 20}{36}\right\} \\ &= \frac{1}{25} \times \frac{25}{9} \\ &= \frac{1}{36} \end{align}