統計検定 準1級 過去問 解答/解答例と解説
2017年06月18日 (日) 試験

問題の要約

• 次の表は，1人当たり医療費支出(2014年)と平均寿命(2013年)

  ※表は省略

1. 次の線形回帰モデル1により，平均寿命 $y$ を 1人当たりの医療費支出 $x$ によって予測した．

   $$\begin{equation} y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon \end{equation}$$
   $$\begin{equation} \epsilon \sim N(0, \sigma^2) \end{equation}$$
   モデルの仮定が成り立っているかを診断するために，次の 4つの図を用いた回帰診断を行う．

   • (ア) 予測値に対する残差のプロット

   • (イ) 残差の正規 Q-Q プロット

   • (ウ) 予測値に対する標準化した残差の絶対値の平方根のプロット

   • (エ) 梃子値 (leverage) に対する標準化した残差のプロット

   回帰診断図 (ア) 〜 (エ) を図1に示す．

   ※図1は省略

   1. 図 1 の中の 29 は USA(アメリカ合衆国) を表す． モデル1における USA の平均寿命の予測値と残差はいくらか． 次の 1 〜 5 のうちから最も適切なものを一つ選べ．

   2. (ア) 〜 (エ) の図に対する説明として，適切でないものを次の 1 〜 5 のうちから一つ選べ．

      • (ア) は残差の全体像を観察し，説明変数と目的変数の線形性を判断す ることができる．

      • (ア) は残差の中で非常に大きな値や小さな値をとる観測値を観察し，外 れ値の有無を判断することができる．

      • (イ)は直線上に並ぶか否かを観察し，残差の正規性を判断することが できる．

      • (ウ)は予測値に対して何らかの傾向がないかを観察し，残差の等分散 性を判断することができる．

      • (エ)は個々の観測値のモデルへの影響力の大きさを観察し，梃子値の小 さい観測値ほど，モデルへの影響力が大きいと判断することができる．

2. 線形回帰モデル2

   $$\begin{equation} y = \beta_0 + \beta_1 \log x + \epsilon \end{equation}$$
   モデル2に対する回帰診断図を図2に示す．

   ※図2は省略

   1. モデル1とモデル2では，決定係数の値はどちらが大きいと考えられるか．その理由を回帰診断図の中のいずれかを比較することによって述べよ．

   2. 解答用紙にあるモデル2の回帰診断図の残差プロットにおいて， JPN (日本) を示している点を丸で囲め．ただし，図にある 24 は ESP(スペイン) である．

   3. モデル1とモデル2に対する残差の5数要約が次のように出力された． これらの違いが分かるように箱ひげ図を描け．ただし，箱ひげ図は，データの最大値と最小値までひげの部分を伸ばすものでよい．

      モデル1

      最小値	第1四分位数	中央値	第3四分位数	最大値
      −5.4331	−0.7237	0.1326	1.4049	3.3116

      モデル2

      最小値	第1四分位数	中央値	第3四分位数	最大値
      −4.8100	−1.0238	0.1919	1.1122	3.0357

解答

1. 1. 答 : ③ 予測値: 84.2，残差: −5.4

      (ア)のグラフより判断する．横軸は予測値，縦軸は残差である．

   2. 答 : ⑤

      (エ)では，横軸は梃子値，縦軸は標準化した残差である． 点線はクックの距離 0.5を示す． 梃子値が大きいほど当てはまりが良く，クックの距離が0.5以上だとモデルへの影響力が大きいと判断できる．よって，⑤は誤り．

      [補足]

      (ア) は，予測値に対する残差のプロットである．予測値の大小関係なく，残差が0の周りで一様に分布しているならば，説明変数と目的変数の線型性があると判断できる．よって，①は正しい．

2. 1. モデル1よりモデル2の回帰診断図(ア)を比較する．

      モデル1では予測値と残差に曲線の傾向があると判断できる． 一人当たりの医療費支出と平均寿命は散布図を描くと曲線上に分布することが分かる．

      モデル2でも残差に曲線の影響があるが，モデル1と比べていくつかの外れ値の推定がよくなっている．このため，モデル2の方が決定係数の値が大きいと考えられる．

   2. JPNとESPの医療費と平均寿命は次のとおり．

      国名	JPN	ESP	USA
      医療費	4152	3053	9024
      平均寿命	83.4	83.2	78.8

      (ア) より，ESPとUSAの誤差は，それぞれおよそ3.0と5.0である．ESPとUSAのデータから $\beta_1$ を求める．

      $$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} 83.2 = \beta_0 + \beta_1 \log 3053 + 3.0~~~\cdots~① \\ 78.8= \beta_0 + \beta_1 \log 9024 - 5.0~~~\cdots~② \end{array} \right. \end{equation}$$
      $① - ②$ より，
      $$\begin{equation} 4.4 = \beta_1 \times (\log 3053 - \log 9024) + 8.0 \end{equation}$$
      $$\begin{equation} -3.6 = \beta_1 \times (\log 3053 - \log 9024) \end{equation}$$
      $$\begin{equation} (\log 3053 - \log 9024) \times \beta_1 = -3.6 \end{equation}$$
      $$\begin{equation} (3.485 - 3.955) \times \beta_1 = -3.6 \end{equation}$$
      $$\begin{equation} -0.47 \times \beta_1 = -3.6 \end{equation}$$
      $$\begin{equation} \beta_1 \approx 7.6596 \end{equation}$$
      同様に，JPNの誤差を $\epsilon$ とすると，JPNとESPの連立方程式は，
      $$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} 83.2 = \beta_0 + \beta_1 \log 3053 + 3.0~~~\cdots~③ \\ 83.4 = \beta_0 + \beta_1 \log 4152 + \epsilon~~~\cdots~④ \end{array} \right. \end{equation}$$
      $③ - ④$ より，
      $$\begin{equation} -0.2 = \beta_1 \times (\log 3053 - \log 4152) + 3.0 - \epsilon \end{equation}$$
      $$\begin{align} \epsilon &= \beta_1 \times (\log 3053 - \log 4152) + 3.0 + 0.2 \\ &= 7.6596 \times (3.485 - 3.6183) + 3.2 \\ &= 7.6596 \times (-0.1333) + 3.2 \\ &= -1.0210 + 3.2 \\ &= 2.179 \end{align}$$
      JPNの予測値は，
      $$\begin{equation} 83.4 - \epsilon = 83.4 - 2.179 = 81.221 \end{equation}$$
      よって，JPNを示しているのは，点 $(81.221,~2.179)$ である．

   3. ※略解を参照