統計検定 準1級 過去問 解答/解答例と解説
2017年06月18日 (日) 試験

問題の要約

• 標本データ

  $$\begin{equation} (X_1, \ldots, X_{10}) = (3, 1, 4, 9, 11, 13, 2, 6, 8, 5) \end{equation}$$

• リサンプリング (復元抽出) によりブートストラップ標本を作成

  母平均 $\mu$ を推定する．

1. 10回の繰返しにより，以下のような 10 個のブートストラップ標本を得た．

   (表の各行がブートストラップ標本)

   $X_1^∗$	$X_2^∗$	$X_3^∗$	$X_4^∗$	$X_5^∗$	$X_6^∗$	$X_7^∗$	$X_8^∗$	$X_9^∗$	$X_{10}^*$	$\bar{X}^∗$
   1	9	6	1	6	6	6	6	5	5	5.1
   8	2	6	6	1	11	11	13	4	3	6.5
   11	9	1	8	6	11	4	8	6	4	6.8
   5	4	4	5	2	2	8	11	3	8	5.2
   9	3	13	9	4	8	6	8	13	9	8.2
   5	8	13	8	11	1	8	9	1	11	7.5
   13	13	11	8	8	13	8	4	8	13	9.9
   9	8	4	11	2	5	1	13	8	5	6.6
   1	9	8	11	13	4	6	3	4	1	6.0
   4	8	6	2	4	1	11	5	3	9	5.3

   この表から $P(\bar{X}^∗ < 6.2)$ のブートストラップ推定値を求めよ．

2. 同様に103回の繰り返しによりブートストラップ標本を得た．

   $\bar{X}^∗$ の累積度数は下図のようになった．

   ※図は省略

   例) $\bar{X}^∗$ が 6.0 以下となった度数は 425．

解答

1. 答 : ②

   表より，$\bar{X}^∗ < 6.2$ となる個数は4であり，ブートストラップ標本のサイズは 10 であることから，

   $$\begin{equation} \frac{4}{10} = 0.40 \end{equation}$$

2. 答 : ④

   まず，下側の境界について見て，5%点を推定する．

   $$\begin{equation} P(\bar{X}^* \le 4.0) = \frac{17}{1000} = 0.017 \end{equation}$$
   $$\begin{equation} P(\bar{X}^* \le 4.5) = \frac{57}{1000} = 0.057 \end{equation}$$
   よって，5%点は，
   $$\begin{equation} \frac{4.0 + 4.5}{2} = 4.25 \end{equation}$$
   次に，上側の境界について見て，95%点を推定する．
   $$\begin{equation} P(\bar{X}^* \le 8.5) = \frac{976}{1000} = 0.976 \end{equation}$$
   $$\begin{equation} P(\bar{X}^* \le 8.0) = \frac{918}{1000} = 0.918 \end{equation}$$
   よって，95%点は，
   $$\begin{equation} \frac{8.5 + 8.0}{2} = 8.25 \end{equation}$$
   以上より，$\mu$ の 90%信頼区間は，
   $$\begin{equation} \mu \in (4.25,~8.25) \end{equation}$$