統計検定 準1級 過去問 解答/解答例と解説
2017年06月18日 (日) 試験

問題の要約

• はじめに家と職場に 1 本ずつ傘を置く．

• 雨が降っていてそこに傘があれば傘を持っていき，なければ仕方なく濡れて 行く．

• $X_n$ : $n$ 回目の移動の出発時にその場所にある傘の本数

• 降雨は移動ごとに独立

• $\theta \in (0, 1)$ : 降雨の確率 (一定値)

• $P (X_1 = 1) = 1$

1. $X_n$ は $0, 1 , 2$ のいずれかの値をとるマルコフ連鎖．

   $p_{ij} = P(X_{n+1} = j−1 | X_n = i−1),~~i,~j= 1, 2, 3$

   $P(X_1 = 1) = 1$

   例) $p_{11} = P(X_{n+1} = 0 | X_n = 0) = 0$ : 傘のない場所から移動した先には必ず傘がある

   推移確率行列 $Q = (_p{ij})$ を求めよ．

2. $X_n~(n = 1, \ldots, 8)$ の同時確率関数

   $$\begin{equation} P(X_1 = x_1,~\ldots,~X_8 = x_8) = P(X_1 = x_1) \prod_{i=1}^{7} P(X_{k+1} = x_{k+1} \mid X_k =x_k) \end{equation}$$

   実際に記録した結果

   $$\begin{equation} X_1 = 1,~X_2 = 1,~X_3 = 2,~X_4 = 0,~X_5 = 2,~X_6 = 1,~X_7 = 1,~X_8 = 1 \end{equation}$$

   これをもとに計算した $\theta$ の最尤推定値はいくらか．

3. XXX

解答

1. 答 : ①

   $X_n$ から $X_{n+1}$ への状態を整理すると次のようになる．このとき，各行の和が $1$ になることに注意する．

   	$X_{n+1}=0$	$X_{n+1}=1$	$X_{n+1}=2$
   $X_{n}=0$	$0$	$0$	$1$
   $X_{n}=1$	$0$	$1-\theta$	$\theta$
   $X_{n}=2$	$1-\theta$	$\theta$	$0$

   よって，状態遷移行列 $Q$ は，

   $$\begin{equation} Q = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1-\theta & \theta \\ 1-\theta & \theta & 0 \\ \end{pmatrix} \end{equation}$$

2. 答 :

   $$\begin{equation} P(X_1 = 1) = 1 \end{equation}$$
   $$\begin{equation} P(X_{2} = 1 \mid X_1 = 1) = 1 - \theta \end{equation}$$
   $$\begin{equation} P(X_{3} = 2 \mid X_2= 1) = \theta \end{equation}$$
   $$\begin{equation} P(X_{4} = 0 \mid X_3 = 2) = 1 - \theta \end{equation}$$
   $$\begin{equation} P(X_{5} = 2 \mid X_4 = 0) = 1 \end{equation}$$
   $$\begin{equation} P(X_{6} = 1 \mid X_5 = 2) = \theta \end{equation}$$
   $$\begin{equation} P(X_{7} = 1 \mid X_6 = 1) = 1 - \theta \end{equation}$$
   $$\begin{equation} P(X_{8} = 1 \mid X_7 = 1) = 1 - \theta \end{equation}$$

   尤度 $L$ は，

   $$\begin{equation} L ＝ P(X_1 = x_1,~\ldots,~X_8 = x_8) = P(X_1 = x_1) \prod_{i=1}^{7} P(X_{k+1} = x_{k+1} \mid X_k =x_k) \end{equation}$$
   対数をとると，
   $$\begin{align} \log L &= \log P(X_1 = x_1) \prod_{i=1}^{7} P(X_{k+1} = x_{k+1} \mid X_k =x_k) \\ &= \log P(X_1 = x_1) + \log \prod_{i=1}^{7} P(X_{k+1} = x_{k+1} \mid X_k =x_k) \\ &= \log P(X_1 = x_1) + \sum_{i=1}^{7} \log P(X_{k+1} = x_{k+1} \mid X_k =x_k) \\ \end{align}$$
   上の表の値を代入すると，
   $$\begin{align} \log L &= \log 1 + \log(1 - \theta) + \log\theta + \log(1 - \theta) + \log1 + \log \theta + \log(1 - \theta) + \log(1 - \theta) \\ &= 2\log\theta + 4\log(1 - \theta) \end{align}$$
   $\theta$ で微分して 0 とおくと，
   $$\begin{align} \frac{d\log L}{d\theta} &= \frac{2}{\theta} - \frac{4}{1 - \theta} \\ &= \frac{2(1 - \theta) - 4\theta}{\theta(1 - \theta)} \\ &= \frac{2 - 6\theta}{\theta(1 - \theta)} \\ &= 0 \end{align}$$
   仮定より，$\theta \ne 0,~\theta \ne 1$ なので，
   $$\begin{equation} 2 - 6\theta = 0 \end{equation}$$
   よって，
   $$\begin{equation} \hat{\theta} = \frac{2}{6} \approx 0.333 \end{equation}$$

3. 答 : ④

   十分長い年月が経過した後であることから，定常状態を考える．

   $$\begin{align} \begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1-\theta & \theta \\ 1-\theta & \theta & 0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix} \end{align}$$
   この式の $a$ を求めれば良い．計算すると，
   $$\begin{align} \begin{pmatrix} c(1-\theta) & b(1-\theta) + c\theta & a + b\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix} \end{align}$$
   $$\begin{align} \left\{ \begin{array}{l} c(1-\theta) = a~~\cdots\cdots~(1) \\ b(1-\theta) + c\theta = b~~\cdots\cdots~(2) \\ a + b\theta = c~~\cdots\cdots~(3) \\ a + b + c = 1~~\cdots\cdots~(4) \end{array} \right. \end{align}$$
   $(1)$ より，
   $$\begin{equation} c = \dfrac{a}{1-\theta}~~\cdots\cdots~(5) \end{equation}$$
   $(2)$ より，
   $$\begin{equation} b - b\theta + c\theta = b \end{equation}$$
   $$\begin{equation} \Longleftrightarrow~- b\theta + c\theta = 0 \end{equation}$$
   $$\begin{equation} \Longleftrightarrow~b = c~~\cdots\cdots~(6) \end{equation}$$
   $(6)$ に $(5)$ を代入すると，
   $$\begin{equation} b = \dfrac{a}{1-\theta}~~\cdots\cdots~(7) \end{equation}$$
   $(3)$ に $(5)$ と $(7)$ を代入すると，
   $$\begin{equation} a + \dfrac{a}{1-\theta}\theta = \dfrac{a}{1-\theta} \end{equation}$$
   $$\begin{equation} \Longleftrightarrow~(1-\theta)a + a\theta = a \end{equation}$$
   これは解けない．$(4)$ に $(5)$ と $(7)$ を代入すると，
   $$\begin{equation} a + \dfrac{a}{1-\theta} + \dfrac{a}{1-\theta} = 1 \end{equation}$$
   $$\begin{equation} \Longleftrightarrow~a\left(1 + \dfrac{1}{1-\theta} + \dfrac{1}{1-\theta}\right) = 1 \end{equation}$$
   $$\begin{equation} \Longleftrightarrow~a\dfrac{1-\theta+ 1 + 1}{1-\theta} = 1 \end{equation}$$
   $$\begin{equation} \Longleftrightarrow~a\dfrac{3-\theta}{1-\theta} = 1 \end{equation}$$
   $$\begin{equation} \Longleftrightarrow~a = \dfrac{1-\theta}{3-\theta} \end{equation}$$
   これに，$\theta \approx 0.333$ を代入すると，
   $$\begin{equation} a \approx \dfrac{1-0.333}{3-0.333} \approx 0.25 \end{equation}$$