統計検定 準1級 過去問 解答/解答例と解説
2017年06月18日 (日) 試験

問題の要約

• 実験条件 $A$ : 4水準 $A_1, A_2, A_3, A_4$

• ブロック因子 $R$ : 実験日の気温や湿度など

• 生産量が最も高くなる水準を求めたい．

• 実験条件と実験日の影響との間の 交互作用は無視できる

• 3日間で合計12 個の観測値からなる実験データ

• 分散分析の方法について，最も適切なものを一つ選べ．

解答

答 : ⑤

次の表のように実験データが得られたとする．

水準	$A_{1}$	$A_{2}$	$\cdots$	$A_{a}$
$R_1$	$x_{11}$	$x_{21}$	$\cdots$	$x_{a1}$
$R_2$	$x_{12}$	$x_{22}$	$\cdots$	$x_{a2}$
$R_3$	$x_{13}$	$x_{23}$	$\cdots$	$x_{a3}$
予測値	$\bar{x}_1$	$\bar{x}_e$	$\cdots$	$\bar{x}_a$	総平均 $\bar{\bar{x}}$

ここで，

とおく．

実験条件 $A$ のみ，繰返し数 3 の 1 元配置分散分析は次のようになる．

要因	平方和	自由度	平均変動	分散比
$A$	$S_{A}$	$\phi_{A} = a-1$	$\ds V_{A}=\frac{S_{A}}{\phi_{A}}$	$\ds F=\frac{V_{A}}{V_{e}}$
$e$	$S_{e}$	$\phi_{e} = ar-a$	$\ds V_{e}=\frac{S_{e}}{\phi_{e}}$
合計	$S_{T}$	$\phi_{T} = ar-1$

実験日 $R$ と実験条件 $A$ の 2 因子による 2 元配置分散分析は次のようになる．

要因	平方和	自由度	平均変動	分散比
$A$	$S_{A}$	$\phi_{A} = a-1$	$\ds V_{A}=\frac{S_{A}}{\phi_{A}}$	$\ds F_{A}=\frac{V_{A}}{V_{e}}$
$R$	$S_{R}$	$\phi_{R} = r-1$	$\ds V_{R}=\frac{S_{R}}{\phi_{R}}$
$e$	$S_{e}$	$\phi_{e} = ar-a-r+1$	$\ds V_{e}=\frac{S_{e}}{\phi_{e}}$
合計	$S_{T}$	$\phi_{T} = ar-1$

• 誤り．

  「残差分散の大きさは等しくなり，実験条件 $A$ の $F$ 値は変わらないので，どちらの解析法でもよい．」は誤り．上の2つの表から，残差分散の大きさは異なるので，実験条件 $A$ の $F$ 値は異なる．

• 誤り．

  [1]と同じ条件のとき，「残差分散の大きさは異なるものの，実験条件 $A$ の $F$ 値は変わらないので，どちらの解析法でもよい．」は誤り． 1元配置分散分析と2 元配置分散分析では，実験条件 $A$ の平均変動は同じであるが，残差が異なるので，実験条件 $A$ の $F$ 値は異なる．

• 誤り．

  「後者による実験条件 $A$ の平方和が常に大きくなり，実験条件 $A$ の効果の検出がしやすくなる．」は誤り．1元配置分散分析と2 元配置分散分析で，実験条件 $A$ の平方和は同じ値になる．

• 誤り．

  1元配置分散分析において，「実験日の影響が大きくても，残差分散の自由度が大きくなり実験条件 $A$ の効果の検出力が高くなる．」は誤り．1元配置分散分析と2 元配置分散分析で，残差分散の自由度は同じになる．

• 正しい．

  2 元配置分散分析において，「実験日の影響を含まない残差分散により $F$ 値を求めるので，実験条件 $A$ の効果の検出がしやすくなる．」は正しい．全体の平方和は，$S_T = S_A + S_R + S_e$ というように分解することができ，$S_e$ には実験日の影響は含まれない．よって，実験条件 $A$ の $F$ 値は，$\dfrac{S_A / \phi_A}{S_e / \phi_e}$ で求めることから， 実験条件 $A$ の効果の検出がしやすくなると言える．