統計検定 準1級 過去問 解答/解答例と解説
2017年06月18日 (日) 試験

問題の要約

• 「人気スポーツ」調査における「最も好きなスポーツ選手」の調査結果

  1位	イチロー	野球	192人	22.4%
  2位	錦織圭	テニス	145人	16.9%
  3位	浅田真央	フィギュアスケート	44人	5.1%
  4位	大谷翔平	野球	30人	3.5%
  5位	長嶋茂雄	野球	28人	3.3%

• 回答者数 : 1, 201人

• 有効回答数 : 857人

1. イチロー選手が好きだと回答した割合の 95% 信頼区間を求めよ．

2. イチロー選手が好きだと回答した割合 0.224 と錦織圭選手が好きだと回答した割合 0.169 の差は 0.055 である．この差の標準偏差の推定値はいくらか．

解答

1. 答 : ②

   $\hat{p} = 0.224,~n= 857$ とおくと，真の割合 $p$ の信頼区間は，

   $$\begin{equation} \hat{p} - z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p} + z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \end{equation}$$
   $$\begin{equation} 0.224 - 1.96 \times \sqrt{\dfrac{0.224 \times (1 - 0.224)}{857}} \le p \le 0.224 + 1.96 \times \sqrt{\dfrac{0.224 \times (1 - 0.224)}{857}} \end{equation}$$
   $$\begin{equation} 0.224 - 0.0279 \le p \le 0.224 + 0.0279 \end{equation}$$
   $$\begin{equation} 0.196 \le p \le 0.252 \end{equation}$$

2. 答 : ④　※統計検定 公式サイトの解答は⑤

   イチロー選手が好きだと回答した割合を $\hat{p}_I$， 錦織圭選手が好きだと回答した割合を $\hat{p}_N$ とおく． また，$n_I = n_N = n = 857$ とおく． $\hat{p}_I - \hat{p}_N$ の標準偏差は次のようにして求めることができる．

   $$\begin{equation} \sqrt{\hat{p}(1 - \hat{p})\left(\frac{1}{n_I} + \frac{1}{n_N}\right)} \end{equation}$$
   ただし，
   $$\begin{equation} \hat{p} = \frac{n_I \hat{p}_I + n_N \hat{p}_N}{n_I + n_N} \end{equation}$$
   よって，
   $$\begin{align} \hat{p} &= \frac{n \hat{p}_I + n \hat{p}_N}{n + n} \\ &= \frac{n (\hat{p}_I + \hat{p}_N)}{2n} \\ &= \frac{\hat{p}_I + \hat{p}_N}{2} \\ &= \frac{0.224 + 0.169}{2} \\ &= 0.1965 \end{align}$$
   $$\begin{align} \sqrt{\hat{p}(1 - \hat{p})\left(\frac{1}{n_I} + \frac{1}{n_N}\right)} &= \sqrt{\hat{p}(1 - \hat{p})\left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n}\right)} \\ &= \sqrt{\frac{2\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \\ &= \sqrt{\frac{2 \times 0.1965 \times (1 - 0.1965)}{857}} \\ &\approx 0.0192 \end{align}$$