統計検定 準1級 過去問 解答/解答例と解説
2017年06月18日 (日) 試験

問題の要約

• $n$ : 検査するウイルスの全株数

• $n$ 株のウイルスの検査は独立

• ウイルス A の発見率は一定値 $p$

1. $\beta$ : $n$ 株のウイルスの中にウイルス A が少なくとも 1株は見つかる確率

   $\beta$ を，$p$ と $n$ を用いて示せ．

2. $p$ の値が 0 に十分近いとき，$\log(1 − p) \approx −p$ の近似が成り立つ．

   $p = 1/10000,~\beta = 0.99$ のときの $n$ の値を求めよ．

   ただし，$\log(0.01) \approx −4.6$ であり，$\log$ は自然対数である．

解答

1. 答 : $\beta = 1 - (1 - p)^n$

   $n$ 株すべてウィルス A が存在しない確率は，

   $$\begin{equation} (1 - p)^n \end{equation}$$
   よって，$n$ 株の中にウイルス A が少なくとも 1株は見つかる確率 $\beta$ は，
   $$\begin{equation} \beta = 1 - (1 - p)^n \end{equation}$$

2. 答 : 46000

   $$\begin{equation} \beta = 1 - (1 - p)^n \end{equation}$$
   より，
   $$\begin{equation} 1 - \beta = (1 - p)^n \end{equation}$$
   両辺を対数ととると，
   $$\begin{align} \log (1 - \beta) &= \log(1 - p)^n \\ &= n \log(1 - p) \end{align}$$
   $$\begin{equation} n = \dfrac{\log(1 - \beta)}{\log (1 - p)} \end{equation}$$
   ここで，
   $$\begin{equation} \log(0.01) \approx −4.6 \end{equation}$$
   なので，
   $$\begin{equation} \log(1 - 0.99) = \log(1 - \beta) \approx −4.6 \end{equation}$$
   であり．また，
   $$\begin{equation} \log(1 - p) \approx -p \end{equation}$$
   であることから，
   $$\begin{align} n &\approx \dfrac{\log (1 - \beta)} {-p} \\ &= -4.6 \div \frac{-1}{10000} \\ &= 46000 \end{align}$$