統計検定 準1級 過去問 解答/解答例と解説
2015年06月21日 (日) 試験

問題の要約

• A君のフリースローの成功率 $\theta$ を考える

• Bさんは $\theta$ に関する情報を持っていない

  $\theta$ の事前分布 : $U(0, 1)$

• C君は $\theta$ に関する事前情報を持つ

  $\theta$ の事前分布 : $Beta(5, 5)$

  $$\begin{equation} f(\theta) = \frac{1}{B(a,b)}\theta^{a-1}(1 - \theta)^{b-1} \end{equation}$$
  $$\begin{equation} B(a,b) = \int_{0}^{1} \theta^{a-1}(1 - \theta)^{b-1}\,d\theta \end{equation}$$

• $X$ : A君の $n$ 回のフリースロー中での成功回数

• $X \sim Bin(n, \theta)$

• 実際に A君がフリースローを 12回行ったところ 3回成功

1. Bさんの $\theta$ に関する事後モードはいくらか

2. Cさんの $\theta$ に関する事後モードはいくらか

解答

1. 答 : ①

   B さんの事前分布は次のようになる．

   $$\begin{equation} p(\theta) = 1~~~~(0 \le \theta \le 1) \end{equation}$$
   事後分布は，
   $$\begin{align} p(\theta \mid x) &= \frac{l(\theta \mid x)\,p(\theta)}{p(x)} \\ &\propto l(\theta \mid x)\,p(\theta) \\ &= {}_nC_{x}\theta^{x}(1 - \theta)^{n-x} \cdot 1 \\ &\propto \theta^{x}(1 - \theta)^{n - x} \end{align}$$
   この事後分布が確率分布となるためには，$c$ を定数として
   $$\begin{equation} \int_{0}^{1} p(\theta \mid x)\,d\theta = c \int_{0}^{1} \theta^{x}(1 - \theta)^{n - x}\,d\theta = 1 \end{equation}$$
   これより，
   $$\begin{equation} c = \frac{1}{B(x + 1, n - x +1)} \end{equation}$$
   よって，
   $$\begin{align} p(\theta \mid x) = \frac{1}{B(x + 1, n - x +1)} \theta^{x}(1 - \theta)^{n - x} \end{align}$$
   一般に，$Beta(a, b)$ のモード (最頻値) は，$\ds \frac{a- 1}{a + b - 2}$ である． Bさんの $\theta$ に関する事後モードは，
   $$\begin{align} \frac{(x + 1)- 1}{(x + 1) + (n - x +1) - 2} = \frac{x}{n} = \frac{3}{12} = 0.25 \end{align}$$
   または，モードの公式を知らない場合は，次のようにして求めることができる．
   $$\begin{align} \frac{d}{d\theta}p(\theta \mid x) &\propto \frac{d}{d\theta}\theta^{x}(1 - \theta)^{n - x} \\ &= x \theta^{x-1} \cdot (1 - \theta)^{n - x} + \theta^{x} \cdot (n - x)(1 - \theta)^{n - x - 1} \cdot (-1) \\ &= \theta^{x-1}(1 - \theta)^{n - x - 1}\left\{x(1 - \theta) - \theta (n - x)\right\} \\ &= \theta^{x-1}(1 - \theta)^{n - x - 1}\left\{x - x \theta - n \theta + x \theta \right\} \\ &= \theta^{x-1}(1 - \theta)^{n - x - 1}\left\{x - n \theta \right\} \\ \end{align}$$
   $\ds \frac{d}{d\theta}p(\theta \mid x) = 0$ とおくと，
   $$\begin{align} \theta = \frac{x}{n} = \frac{3}{12} = 0.25 \end{align}$$

2. 答 : ③

   C 君の事前分布は次のようになる．

   $$\begin{align} p(\theta) &= \frac{1}{B(a, b)}\theta^{a-1}(1 - \theta)^{b-1} \\ &\propto \theta^{a-1}(1 - \theta)^{b-1}~~~~(0 \le \theta \le 1) \end{align}$$
   ただし，$a =5, b = 5$ である． 事後分布は，
   $$\begin{align} p(\theta \mid x) &\propto l(\theta \mid x)\,p(\theta) \\ &\propto \theta^{x}(1 - \theta)^{n - x} \cdot \theta^{a-1}(1 - \theta)^{b-1} \\ &= \theta^{x + a - 1}(1 - \theta)^{n - x + b - 1} \end{align}$$
   この事後分布が確率分布となるためには，$c$ を定数として
   $$\begin{equation} \int_{0}^{1} p(\theta \mid x)\,d\theta = c \int_{0}^{1}\theta^{x + a - 1}(1 - \theta)^{n - x + b - 1}\,d\theta = 1 \end{equation}$$
   これより，
   $$\begin{equation} c = \frac{1}{B(x + a, n - x + b)} \end{equation}$$
   よって，
   $$\begin{align} p(\theta \mid x) = \frac{1}{B(x + a, n - x + b)} \theta^{x + a - 1}(1 - \theta)^{n - x + b - 1} \end{align}$$
   $Beta(a, b)$ のモード (最頻値) は，$\frac{a- 1}{a + b - 2}$ であるので， C 君の $\theta$ に関する事後モードは，
   $$\begin{align} \frac{(x + a)- 1}{(x + a) + (n - x + b) - 2} = \frac{(3 + 5) - 1}{(3 + 5) + (12 - 3 + 5) - 2} = \frac{7}{20} = 0.35 \end{align}$$
   または，$p(\theta \mid x)$ を $\theta$ で微分して 0 とおくと，
   $$\begin{align} \frac{d}{d\theta}p(\theta \mid x) &\propto \frac{d}{d\theta} \theta^{x + a - 1}(1 - \theta)^{n - x + b - 1} \\ &= (x + a - 1)\theta^{x + a - 2}(1 - \theta)^{n - x + b - 1} - (n - x + b - 1)\theta^{x + a - 1}(1 - \theta)^{n - x + b - 2} \\ &= \theta^{x + a - 2}(1 - \theta)^{n - x + b - 2}\left\{(x + a - 1)(1 - \theta) - (n - x + b - 1)\theta\right\} \\ &= \theta^{x + a - 2}(1 - \theta)^{n - x + b - 2}\left\{(x + a - 1) - (n + a + b - 2)\theta\right\} \\ &= 0 \end{align}$$
   よって，
   $$\begin{align} \theta &= \frac{x + a - 1}{n + a + b - 2} \\ &= \frac{3 + 5 - 1}{12 + 5 + 5 - 2} \\ &= \frac{7}{20} \\ &= 0.35 \end{align}$$