統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2017年11月26日 (日) 試験

統計数理 問5 [3]

設問の要約
  • T=XY2XY の確率密度関数は次のようになることを示せ

    h(t)=1π(1+t2)

  • ヒント: s=xy=tan2θ

解答例

s=tan2θ とおくと,

dsdθ=2tanθ1cos2θ
fΘ(θ)=g(tan2θ)dsdθ=1πtan2θ11+tan2θ2tanθ1cos2θ=1πtanθcos2θ2tanθ1cos2θ=2π
s=xy=tan2θ より,xy=tanθ であるので,
sinθ=x(x)2+(y)2=xx+y
cosθ=y(x)2+(y)2=yx+y
よって,
x=x+ysinθ
y=x+ycosθ
これらより,
t=xy2xy=(x)2(y)22xy=(x+y)2sin2θ(x+y)2cos2θ2x+ycosθx+ysinθ=cos2θsin2θ2sinθcosθ=cos2θ212sin2θ=cos2θsin2θ=1tan2θ
tan2θ=1t
2θ=tan1(1t)
θ=12tan1(1t)
dθdt=1211+(1t)2t2=1211+1t21t2=121t2+1
h(t)=fΘ(12tan1(1t))dθdt=2π121t2+1=1π(1+t2)