統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2017年11月26日 (日) 試験

統計数理 問5 [2]

設問の要約
  • S=XY の確率密度関数は,s>0 に対し,次のようになることを示せ

    g(s)=1πs11+s

解答例

fX(x)=12π1xex2
fY(y)=12π1yey2
なので、X,Y の同時確率密度関数は、
fX,Y(x,y)=fX(x)fY(y)=12π1xex212π1yey2=12π1xyex+y2
U=Y とおくと、X=SU であるので、ヤコビアン |J|は、
|J|=|dxdsdxdudydsdydu|=|vs01|=v
S,U の同時確率密度関数は、
fS,U(s,u)=fX,Y(su,u)|J|=12π1suuesu+u2v=12π1ses+12u
S の確率密度関数は、
g(s)=0fS,U(s,u)du=012π1ses+12udu=12π1s0es+12udu=12π1s[2s+1es+12u]0=12π1s2s+1=1πs1s+1