統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2017年11月26日 (日) 試験

統計数理 問3 [4]

設問の要約
  • Z=XE[X]V[X] とする

  • λ のとき,ZN(0,1) と分布収束することを示せ

解答例

MX/λ(t)=E[e(X/λ)t]=x=0exλtλxx!eλ=eλx=0exλtλxx!=eλx=0(etλ)xλxx!=eλx=0(etλλ)xx!=eλexp[etλλ]=exp[λ(etλ1)]
MZ(t)=E[eZt]=E[exp[XE[X]V[X]t]]=E[exp[Xλλt]]=E[exp[Xλtλλt]]=E[exp[Xλtλt]]=E[exp[Xλt]exp[λt]]=exp[λt]E[exp[Xλt]]=exp[λt]exp[λ(etλ1)]
ここで,
etλ=1+11!(tλ)1+12!(tλ)2+
であるので,
MZ(t)=exp[λ{1+11!(tλ)1+12!(tλ)2+1}λt]=exp[λ{tλ+12t2λ+}λt]=exp[λt+12t2+λt]=exp[12t2+]exp[12t2]
よって、λ のとき、Z の分布は N(0,1) に収束する。