統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2017年11月26日 (日) 試験

統計数理 問3 [2]

設問の要約
  • X のモーメント母関数は MX(T)=exp[λ(et1)] であることを示せ

  • E[X]=λV[X]=λ を示せ

解答例

MX(t)=E[eXt]=x=0extλxx!eλ=eλx=0(etλ)xx!=eλeetλ=eetλλ=eλ(et1)=exp[λ(et1)]
E[XeXt]=MX(t)=exp[λ(et1)]λet
E[X2eXt]=MX(t)=exp[λ(et1)]λetλet+exp[λ(et1)]λet
E[X]=MX(0)=exp[λ(e01)]λe0=λ
E[X2]=MX(0)=exp[λ(e01)]λe0λe0+exp[λ(e01)]λe0=λ2+λ
V[X]=E[X2](E[X])2=λ2+λλ2=λ