統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2017年11月26日 (日) 試験

統計数理 問2 [4]

設問の要約
  • θθ の分散を求めよ

  • 分散の比較によりどちらの推定量が望ましいか論ぜよ

解答例

E[Xi2]=0θx2f(x;θ)dx=0θx21θdx=1θ0θx2dx=1θ[13x3]0θ=θ23
V[Xi]=E[Xi2](E[Xi])2=θ23(θ2)2=θ212
V[θ]=V[2ni=1nXi]=4n2i=1nV[Xi]=4n2i=1nθ212=4n2nθ212=θ23n
E[Xmax]=0θxfXmax(x)dx=0θxnxn1θndx=nθn0θxndx=nθn[1n+1xn+1]0θ=nθn1n+1θn+1=nn+1θ
E[Xmax2]=0θx2fXmax(x)dx=0θx2nxn1θndx=nθn0θxn+1dx=nθn[1n+2xn+2]0θ=nθn1n+2θn+2=nn+2θ2
V[Xmax2]=E[Xmax2](E[Xmax])2=nn+2θ2(nn+1θ)2=nn+2θ2n2(n+1)2θ2=n(n+1)2(n+2)n2(n+2)(n+1)2θ2=(n3+2n2+n)(n3+2n2)(n+2)(n+1)2θ2=n(n+2)(n+1)2θ2
V[θ]=V[n+1nXmax]=(n+1)2n2V[Xmax]=(n+1)2n2n(n+2)(n+1)2θ2=θ2n(n+2)
n1 に対して,
n(n+2)3n=n2+2n3n=n2n=n(n1)0
なので,
n(n+2)3n
13n1n(n+2)
θ23nθ2n(n+2)
V[θ]V[θ]
よって,θ の分散の方が θ の分散より小さいので,θ の方が望ましい.