統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2017年11月26日 (日) 試験

統計数理 問1 [5]

設問の要約
  • XN(μ,σ2) であるとする

  • μ は既知のとき,σ2 の最尤推定量は T2 であることを示せ

  • σ2 が未知のとき,σ2 の最尤推定量を S2 を用いて表わせ

解答例

尤度関数 L(x,μ,σ2) は,

L(x,μ,σ2)=i=1n12πσ2exp[(xiμ)22σ2]=1(2πσ2)ni=1nexp[(xiμ)22σ2]=1(2πσ2)nexp[i=1n(xiμ)22σ2]
対数尤度 (x,μ,σ2)=logL(x,μ,σ2) は,
(x,μ,σ2)=log1(2πσ2)nexp[i=1n(xiμ)22σ2]=log1(2πσ2)n+logexp[i=1n(xiμ)22σ2]=log1(2πσ2)ni=1n(xiμ)22σ2=log1(2π)nn2logσ212σ2i=1n(xiμ)2
μ が既知のとき,σ2 の最尤推定量 σ^2 を求める. σ2 で微分して 0とおくと,
σ2(x,μ,σ2)=n2σ2+12(σ2)2i=1n(xiμ)2=12σ2(n1σ2i=1n(xiμ)2)=0
σ2>0 であるので,
n1σ2i=1n(xiμ)2=0
よって,
σ^2=1ni=1n(xiμ)2=T2

μ が未知のとき、μ の最尤推定量 μ^2 を求める。 μ で微分して 0とおくと、

μ(x,μ,σ2)=1σ2i=1n(xiμ)=0
σ2>0 であるので、
i=1n(xiμ)=0
i=1nxinμ=0
μ^=1ni=1nxi=x¯
これより、σ2 の最尤推定量 σ~2 は、
σ~2=1ni=1n(xix¯)2=n1n1n1i=1n(xix¯)2=n1nS2