統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2017年11月26日 (日) 試験

統計数理 問1 [3]

設問の要約
  • X¯ の分布の尖度を β2n を用いて表わせ

解答例

[3] より,

E[(i=1nYi)]=nE[Yi]+i1ini1++in=ik, k=0,,n!i1!in!E[Y1i1]E[Ynin]
=4 のとき,
E[(i=1nYi)4]=nE[Yi4]+nC2×6σ4=nE[Yi4]+3n(n1)σ4
これと,E[(Xiμ)]=0 であることを用いると,
E[(X¯μ)4]=1n4E[(i=1n(Xiμ))4]=1n4{nE[(Xμ)4]+3n(n1)σ4}=1n3{E[(Xμ)4]+3(n1)σ4}
よって,
E[(X¯μ)4](σ/n)43=n4σ4E[(Xμ)4]3=n4σ4×1n3{E[(Xμ)4]+3(n1)σ4}3=1nσ4{E[(Xμ)4]+3(n1)σ4}3=1nE[(Xμ)4]σ4+3(n1)n3=1n{E[(Xμ)4]σ43}+33=β2n