統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2017年11月26日 (日) 試験

統計数理 問1 [2]

設問の要約
  • X¯ の分布の歪度を β1n を用いて表わせ

解答例

Y1,,Yn を同一分布に従う互いに独立な確率変数とし,E[Yi]=0, V[Yi]=σ2 であるとする.

E[(i=1nYi)]=E[(Y1++Yn)]=E[i1ini1++in=!i1!in!Y1i1Ynin]=E[i1{0,}in{0,}i1++in=!i1!in!Y1i1Ynin+i1ini1++in=ik, k=0,,n!i1!in!Y1i1Ynin]=E[i=1nYi+i1ini1++in=ik, k=0,,n!i1!in!Y1i1Ynin]=E[i=1nYi]+E[i1ini1++in=ik, k=0,,n!i1!in!Y1i1Ynin]=i=1nE[Yi]+i1ini1++in=ik, k=0,,n!i1!in!E[Y1i1Ynin]=nE[Yi]+i1ini1++in=ik, k=0,,n!i1!in!E[Y1i1]E[Ynin]
=3 のとき,
E[(i=1nYi)3]=nE[Yi3]
これと,E[(Xiμ)]=0 であることを用いると,
E[(X¯μ)3]=E[(1ni=1nXi1ni=1nμ)3]=1n3E[(i=1n(Xiμ))3]=1n3×nE[(Xμ)3]=1n2E[(Xμ)3]
よって,
E[(X¯μ)3](σ/n)3=n3σ3E[(Xμ)3]=n3σ3×1n2E[(Xμ)3]=1nE[(Xμ)3]σ3=β1n