統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2017年11月26日 (日) 試験

統計応用 問4 [4]

設問の要約
  • 式 (1) の f(x) に対し,θ^1θ^2 の分散を求めよ

解答例

XBeta(a,b) に対し,

E[X2]=01x21B(a,b)xa1(1x)b1dx=01x2(a+b1)!(a1)!(b1)!xa1(1x)b1dx={(a+2)1}{(a+1)1}{(a+2)+b1}{(a+1)+b1}01{(a+2)+b1}!{(a+2)1}!(b1)!x(a+2)1(1x)b1dx=a(a+1)(a+b)(a+b+1)01{(a+2)+b1}!{(a+2)1}!(b1)!x(a+2)1(1x)b1dx=a(a+1)(a+b)(a+b+1)
V[X]=E[X2](E[X])2=a(a+1)(a+b)(a+b+1)(aa+b)2=a(a+1)(a+b)(a+b+1)a2(a+b)2=a(a+1)(a+b)a2(a+b+1)(a+b)2(a+b+1)=a{a2+(b+1)a+b}a2(a+b+1)(a+b)2(a+b+1)={a3+(b+1)a2+ab}{a3+a2b+a2}(a+b)2(a+b+1)=ab(a+b)2(a+b+1)
f(x)=12x(1x)2=(2+31)!(21)!(31)!x21(1x)31=1B(2,3)x21(1x)31
よって,f(x) は,Beta(2,3) の確率密度関数である.よって,XBeta(2,3) に対し,
E[X]=22+3=25=0.4
V[X]=2×3(2+3)2(2+3+1)=6526=125
V[θ^1]=V[1ni=1nXi]=1n2i=1nV[Xi]=1n2i=1n125=1n2n25=125n

U(0,1) のとき,fU(u)=1 であるので,

E[Uf(U)]=01uf(u)du=01u12u(1u)2du=1201u31(1u)31du=12B(3,3)=12Γ(3)Γ(3)Γ(3+3)=122!2!5!=12212154321=25
E[(Uf(U))2]=01(uf(u))2du=01u2(12u(1u)2)2du=01u2122u2(1u)4du=12201u51(1u)51du=122B(5,5)=122Γ(5)Γ(5)Γ(5+5)=1224!4!9!=12243214321987654321=835
V[θ^2]=V[1ni=1nUif(Ui)]=1n2i=1nV[Uif(Ui)]=1n2i=1nV[Uf(U)]=1nV[Uf(U)]=1n{E[(Uf(U))2](E[Uf(U)])2}=1n{835(25)2}=1n121751n1.7125