統計検定 1級過去問解答/解答例と解説
2014年11月30日 (日) 試験

統計数理問4

問題の要約

ばね秤りを用いて，5個の物体の重さを秤りを用いて 10 回量る．
次の 2 通りの測定法を考える．
1. 1つずつそれぞれ 2 回量る
2. 2つずつ10通り ( ${}_5C_{2} = 10$ ) の異なる組み合わせについて各 1 回量る．
測定誤差は互いに独立に平均 0，分散 $\sigma^2$ の正規分布に従うとする．

ヒント

すべての対角要素が $a$ であり，すべての非対角要素が $b$ である正則な $k \times k$ 行列について，

{(\begin{matrix} a & b & \dots & b \\ b & a & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b & b & \dots & a \end{matrix})}^{- 1} = (\begin{matrix} α & β & \dots & β \\ β & α & \dots & β \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ β & β & \dots & α \end{matrix})

$\begin{equation} \begin{pmatrix} a & b & \cdots & b \\ b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & \cdots & a \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} \alpha & \beta & \cdots & \beta \\ \beta & \alpha & \cdots & \beta \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \beta & \beta & \cdots & \alpha \end{pmatrix} \end{equation}$

α = \frac{a + (k - 2) b}{(a - b) {a + (k - 1) b}}

$\begin{equation} \alpha = \frac{a + (k-2)b}{(a-b)\{a + (k-1)b\}} \end{equation}$

β = \frac{- b}{(a - b) {a + (k - 1) b}}

$\begin{equation} \beta = \frac{-b}{(a-b)\{a + (k-1)b\}} \end{equation}$

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