統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2014年11月30日 (日) 試験

統計数理 問4 [3]

設問の要約
  • σ2 は未知

  • H0 : θ1==θ5

  • H1 :  θ1==θ5 でない

  • 検定するための F 統計量を求めよ.

解答例

帰無仮説 H0 の下での θθ0 とし, θ の推定値を θ^ とする.

一般に,2 つの仮説 H0H1 において,次の式により F 統計量を求めることができる.

F=(S(0)S(1))/(n(0)n(1))S(1)/n(1)
F の値が大きいほど,モデル H0 のデータへの当てはまりが悪いことになる.

S(0)

H0 での残差平方和

n(0)

H0 での自由度 (= 1)

S(1)

H1 での残差平方和

n(1)

H1 での自由度 (= 5)

計画行列 X は定数であり,θ0 の自由度は 1,θ^ の自由度は 5 であることに注意する.

H0 の下での平方和 S(0) は,

S(0)=xXθ02=(xXθ0)T(xXθ0)
H1 の下での平方和 S(1) は,
S(1)=xXθ^2=(xXθ^)T(xXθ^)
ところで,
S(0)=xXθ02=(xXθ0)T(xXθ0)=(xXθ^+Xθ^Xθ0)T(xXθ^+Xθ^Xθ0)={(xXθ^)+(Xθ^Xθ0)}T{(xXθ^)+(Xθ^Xθ0)}=(xXθ^)T(xXθ^)+(xXθ^)T(Xθ^Xθ0)+(Xθ^Xθ0)T(xXθ^)+(Xθ^Xθ0)T(Xθ^Xθ0)=S(1)+(xXθ^)T(Xθ^Xθ0)+(Xθ^Xθ0)T(xXθ^)+(Xθ^Xθ0)T(Xθ^Xθ0)
ここで,
(xXθ^)T(Xθ^Xθ0)=xTXθ^xTXθ0(Xθ^)TXθ^+(Xθ^)TXθ0=xTXθ^xTXθ0θ^TXTXθ^+θ^TXTXθ0=xTXθ^xTXθ0(XTXθ^)Tθ^+(XTXθ^)Tθ0=xTXθ^xTXθ0(XTx^)Tθ^+(XTx^)Tθ0=xTXθ^xTXθ0xTXθ^+xTXθ0=0
(Xθ^Xθ0)T(xXθ^)=(Xθ^)Tx(Xθ^)TXθ^(Xθ0)Tx+(Xθ0)TXθ^=(Xθ^)Txθ^TXTXθ^(Xθ0)Tx+θ0TXTXθ^=(Xθ^)Txθ^TXTx(Xθ0)Tx+θ0TXTx=(Xθ^)Tx(Xθ^)Tx(Xθ0)Tx+(Xθ0)Tx=0
よって,
S(0)=S(1)+(Xθ^Xθ0)T(Xθ^Xθ0)
S(0)S(1)=(Xθ^Xθ0)T(Xθ^Xθ0)=Xθ^Xθ02
以上より,
F=Xθ^Xθ02/(51)xXθ^2/5F(4,5)