統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2014年11月30日 (日) 試験

統計数理 問4 [1]

設問の要約
  • θ=(θ1,,θ5) : 物体の重さの真値

  • x=(x1,,x10) : 測定値

  • ϵ=(ϵ1,,ϵ10) : 誤差

  • 線形モデルとして次を仮定

    x=Xθ+ϵ

  • X を具体的に与えよ.

  • θi の最小二乗推定量を θ^i (i=1,,5) として,それを導く正規方程式を求めよ.

解答例

正規方程式は XXθ=Xx で与えられる.

(1) のとき

計画行列 X は,

X=(10000100000100001000001000010000010000100000100001)
と書ける.ここで,
XX=(11000000000011000000000011000000000011000000000011)(10000100000100001000001000010000010000100000100001)=(2000002000002000002000002)
Xx=(11000000000011000000000011000000000011000000000011)(x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10)=(x1+x2x3+x4x5+x6x7+x8x9+x10)
よって,θ の推定値 θ^ は,
θ^=(XX)1Xx=(2000002000002000002000002)1(x1+x2x3+x4x5+x6x7+x8x9+x10)=(1/2000001/2000001/2000001/2000001/2)(x1+x2x3+x4x5+x6x7+x8x9+x10)=12(x1+x2x3+x4x5+x6x7+x8x9+x10)

(2) のとき

計画行列 X は,

X=(11000101001001010001011000101001001001100010100011)
と書ける.ここで,
XX=(11110000001000111000010010011000100101010001001011)(11000101001001010001011000101001001001100010100011)=(4111114111114111114111114)
Xx=(11110000001000111000010010011000100101010001001011)(x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10)=(x1+x2+x3+x4x1+x5+x6+x7x2+x5+x8+x9x3+x6+x8+x10x4+x7+x9+x10)
よって,θ の推定値 θ^ は,
θ^=(XX)1Xx=(4111114111114111114111114)1(x1+x2+x3+x4x1+x5+x6+x7x2+x5+x8+x9x3+x6+x8+x10x4+x7+x9+x10)=124(7111117111117111117111117)(x1+x2+x3+x4x1+x5+x6+x7x2+x5+x8+x9x3+x6+x8+x10x4+x7+x9+x10)=124(6x1+6x2+6x3+6x42x52x62x72x82x92x106x12x22x32x4+6x5+6x6+6x72x82x92x102x1+6x22x32x4+6x52x62x7+6x8+6x92x102x12x2+6x32x42x5+6x62x7+6x82x9+6x102x12x22x3+6x42x52x6+6x72x8+6x9+6x10)