統計検定 1級過去問解答/解答例と解説
2014年11月30日 (日) 試験

統計数理問3 [1]

設問の要約

$U_i = Y_i - \beta X_i,~i=1,\ldots,n$ は互いに独立に平均 0 の正規分布に従うとする．
帰無仮説 $H_0~:~\beta = \beta_0$ の検定方式を次のそれぞれについて求めよ．
1. $\sigma_X,~\sigma_Y$ が既知の場合
2. $\sigma_X,~\sigma_Y$ が未知の場合
$z(\alpha)$ : 標準正規分布の上側 $100\alpha$ ％点
$t_f(\alpha)$ : 自由度 $f$ の $t$ 分布の上側 $100\alpha$ ％点

解答例

(1) $\sigma_X,~\sigma_Y$ が既知の場合

\bar{X} \equiv \frac{1}{n} \sum_{i} X_{i}

$\begin{equation} \bar{X} \equiv \frac{1}{n}\sum_i X_i \end{equation}$

\bar{Y} \equiv \frac{1}{n} \sum_{i} Y_{i}

$\begin{equation} \bar{Y} \equiv \frac{1}{n}\sum_i Y_i \end{equation}$

\bar{U} \equiv \frac{1}{n} \sum_{i} U_{i} = \frac{1}{n} \sum_{i} (Y_{i} - β X_{i}) = \bar{Y} - β \bar{X}

$\begin{equation} \bar{U} \equiv \frac{1}{n}\sum_i U_i = \frac{1}{n}\sum_i\left(Y_i - \beta X_i\right) = \bar{Y} - \beta\bar{X} \end{equation}$

E [\bar{U}] = 0 (仮定より)

$\begin{equation} E[\bar{U}] = 0~~~~(\text{仮定より}) \end{equation}$

\begin{aligned} V [U_{i}] & = V [Y_{i} + β X_{i}] \\ = V [Y_{i}] + β^{2} V [X_{i}] \\ = {σ_{Y}}^{2} + β^{2} {σ_{X}}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} V[U_i] &= V[Y_i + \beta X_i] \\ &= V[Y_i] + \beta^{2}V[X_i] \\ &= {\sigma_Y}^2 + \beta^{2}{\sigma_X}^2 \end{align}$

\begin{aligned} V [\bar{U}] & = V [\frac{1}{n} \sum_{i} U_{i}] \\ = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i} V [U_{i}] \\ = \frac{1}{n} ({σ_{Y}}^{2} + β^{2} {σ_{X}}^{2}) \end{aligned}

$\begin{align} V[\bar{U}] &= V\left[\frac{1}{n}\sum_i U_i\right] \\ &= \frac{1}{n^2}\sum_i V[U_i] \\ &= \frac{1}{n}\left({\sigma_Y}^2 + \beta^{2}{\sigma_X}^2\right) \end{align}$

\begin{aligned} \frac{\bar{U} - E [\bar{U}]}{\sqrt{\bar{U}}} & = \frac{(\bar{Y} - β \bar{X}) - 0}{\sqrt{\frac{1}{n} ({σ_{Y}}^{2} + β^{2} {σ_{X}}^{2})}} \\ = \frac{\bar{Y} - β \bar{X}}{\sqrt{\frac{1}{n} ({σ_{Y}}^{2} + β^{2} {σ_{X}}^{2})}} \sim N (0, 1) \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\bar{U} - E[\bar{U}]}{\sqrt{\bar{U}}} &= \frac{(\bar{Y} - \beta\bar{X}) - 0}{\ds\sqrt{\frac{1}{n}\left({\sigma_Y}^2 + \beta^{2}{\sigma_X}^2\right)}} \\ &= \frac{\bar{Y} - \beta\bar{X}}{\ds\sqrt{\frac{1}{n}\left({\sigma_Y}^2 + \beta^{2}{\sigma_X}^2\right)}}~\sim~N(0,1) \end{align}$

よって，上式にて

β = β_{0}

$\beta = \beta_0$ として，次を検定する．

\frac{\bar{Y} - β_{0} \bar{X}}{\sqrt{\frac{1}{n} ({σ_{Y}}^{2} + {β_{0}}^{2} {σ_{X}}^{2})}} \sim N (0, 1)

$\begin{equation} \frac{\bar{Y} - {\beta_0}\bar{X}}{\ds\sqrt{\frac{1}{n}\left({\sigma_Y}^2 + {\beta_0}^{2}{\sigma_X}^2\right)}}~\sim~N(0,1) \end{equation}$

(2) $\sigma_X,~\sigma_Y$ が未知の場合

${\sigma_X}^2,~{\sigma_Y}^2$ の推定量をそれぞれ ${s_X}^2,~{s_Y}^2$ とする．

{s_{X}}^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2}

$\begin{equation} {s_X}^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2 \end{equation}$

{s_{Y}}^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (Y_{i} - \bar{Y})^{2}

$\begin{equation} {s_Y}^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(Y_i - \bar{Y})^2 \end{equation}$

よって，(1) の

{σ_{X}}^{2}

${\sigma_X}^2$ と

{σ_{Y}}^{2}

${\sigma_Y}^2$ を推定量

{s_{X}}^{2}

${s_X}^2$ と

{s_{Y}}^{2}

${s_Y}^2$ に置き換えて，

\frac{\bar{Y} - β_{0} \bar{X}}{\sqrt{\frac{1}{n} ({s_{Y}}^{2} + {β_{0}}^{2} {s_{X}}^{2})}} \sim t (n - 1)

$\begin{equation} \frac{\bar{Y} - {\beta_0}\bar{X}}{\ds\sqrt{\frac{1}{n}\left({s_Y}^2 + {\beta_0}^{2}{s_X}^2\right)}}~\sim~t(n-1) \end{equation}$

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