統計検定 1級過去問解答/解答例と解説
2014年11月30日 (日) 試験

統計数理問2 [5]

設問の要約

順序統計量 $U_{(j)}$ の期待値 $E[U_{(j)}]~(j = 1, \ldots, n)$ を求めよ．

解答例1

[4] より， $U_{(j)}$ は $Y_j$ に対応していることから，

E [U_{(j)}] = E [Y_{j}]

$\begin{equation} E[U_{(j)}] = E[Y_j] \end{equation}$

である．

X_{i} \sim Γ (1, 1)

$X_i \sim \Gamma(1, 1)$ は

X_{i} \sim E x p (1)

$X_i \sim Exp(1)$ であり，また，

E [X_{i}] = 1

$E[X_i] = 1$ であるので，

E [X_{1} + \dots + X_{j}] = j

$\begin{equation} E[X_1 + \cdots + X_j] = j \end{equation}$

E [T] = E [X_{1} + \dots + X_{n + 1}] = n + 1

$\begin{equation} E[T] = E[X_1 + \cdots + X_{n+1}] = n+1 \end{equation}$

これらと，[3] の

Y_{i}

$Y_i$ と

T

$T$ が互いに独立であることから，

E [X_{1} + \dots + X_{j}] = E [Y_{j} T] = E [Y_{j}] E [T]

$\begin{equation} E[X_1 + \cdots + X_j] = E[Y_j T] = E[Y_j]\,E[T] \end{equation}$

よって，

E [Y_{j}] = \frac{E [X_{1} + \dots + X_{j}]}{E [T]} = \frac{j}{n + 1}

$\begin{equation} E[Y_j] = \frac{E[X_1 + \cdots + X_j]}{E[T]} = \frac{j}{n+1} \end{equation}$

すなわち，

E [U_{(j)}] = \frac{j}{n + 1}

$\begin{equation} E[U_{(j)}] = \frac{j}{n+1} \end{equation}$

解答例2

$j$ 番目の順序統計量 $U_{(j)}$ は，

U_{(j)} \sim B e (j, n - j + 1)

$\begin{equation} U_{(j)} \sim Be(j,~n-j+1) \end{equation}$

であることが知られている．その確率密度関数は，

f_{U_{(j)}} (u) = {\begin{cases} \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} u^{j - 1} (1 - u)^{n - j} & (0 < x < 1) \\ 0 & (u \leq 0, 1 \leq u) \end{cases}

$\begin{equation} f_{U_{(j)}}(u) = \begin{cases} \ds\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!}u^{j-1}(1 - u)^{n-j} & (0 < x < 1) \\ 0 & (u \le 0,~1 \le u) \end{cases} \end{equation}$

\begin{aligned} E [U_{(j)}] & = \int_{0}^{\infty} u f_{U_{(j)}} (u) d u \\ = \int_{0}^{1} u \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} u^{j - 1} (1 - u)^{n - j} d u \\ = \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} \int_{0}^{1} u^{j} (1 - u)^{n - j} d u \\ = \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} \frac{Γ (j + 1) Γ (n - j + 1)}{Γ (n + 2)} \\ = \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} \frac{j! (n - j)!}{(n + 1)!} \\ = \frac{j}{n + 1} \end{aligned}

$\begin{align} E[U_{(j)}] &= \int_{0}^{\infty} u\,f_{U_{(j)}}(u)\,du \\ &= \int_{0}^{1}u\,\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!}u^{j-1}(1 - u)^{n-j}\,du \\ &= \frac{n!}{(j-1)!(n-j)!}\int_{0}^{1}u^{j}(1 - u)^{n-j}\,du \\ &= \frac{n!}{(j-1)!(n-j)!}\frac{\varGamma(j+1)\varGamma(n-j+1)}{\varGamma(n+2)} \\ &= \frac{n!}{(j-1)!(n-j)!}\frac{j!(n-j)!}{(n+1)!} \\ &= \frac{j}{n+1} \end{align}$

補足1: 順序統計量の確率密度関数

$X_1,\ldots,X_n$ を分布 $F_X(x)$ と確率密度関数 $f_X(x)$ を持つ連続型分布からの標本とする． $X_{(1)},\ldots,X_{(n)}$ を順序統計量としたとき， $X_{(k)}$ の分布関数と確率密度関数は次のようになる．

F_{X_{(j)}} (x) = \sum_{k = j}^{n}_{n} C_{k} F_{X} (x)^{k} (1 - F_{X} (x))^{n - k}

$\begin{equation} F_{X_{(j)}}(x) = \sum_{k=j}^{n}{}_{n}C_{k}F_X(x)^{k}(1 - F_X(x))^{n-k} \end{equation}$

f_{X_{(j)}} (x) = \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} f_{X} (x) F_{X} (x)^{j - 1} (1 - F_{X} (x))^{n - j}

$\begin{equation} f_{X_{(j)}}(x) = \frac{n!}{(j-1)!(n-j)!}f_X(x)\,F_X(x)^{j-1}(1 - F_X(x))^{n-j} \end{equation}$

補足2: $X \sim Be(\alpha, \beta)$ の期待値

X \sim B e (α, β)

$\begin{equation} X \sim Be(\alpha, \beta) \end{equation}$

のとき，

E [X] = \frac{α}{α + β}

$\begin{equation} E[X] = \frac{\alpha}{\alpha + \beta} \end{equation}$

統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説 2014年11月30日 (日) 試験

統計数理 問2 [5]