統計検定 1級過去問解答/解答例と解説
2014年11月30日 (日) 試験

統計応用問5 [4]

設問の要約

$H_0 : \delta = 0$
$H_1 : \delta \ne 0$
撹乱母数 $\beta, \gamma$ に依存しない検定とするために，すべての周辺和を固定する．
表 5.2 における各周辺和を固定して考えると， $y_{11}$ は， $H_0$ の下で超幾何分布に従う
$\ds E[Y_{11}] = \frac{y_{1\cdot}y_{\cdot 1}}{N}$
$\ds V[Y_{11}] = \frac{y_{1\cdot}y_{2\cdot}y_{\cdot 1}y_{\cdot 2}}{N^2(N - 1)}$
この検定と上問 [1] のカイ二乗検定との関連を述べよ．

ヒント

※問題よりそのまま抜粋

パラメータ $\beta, \gamma, \delta$ の導入は，対数線形モデル $\log p_{ij} = \mu + \beta_i + \gamma_j + \delta_{ij}$ の右辺において，添え字 $i, j$ が 2 であるパラメータを 0 とする一意性条件を加えることと同値である．

解答例

$H_0 : \delta = 0$ の下では，

\log {(p_{11} p_{22}) / (p_{12} p_{21})} = 0 ⟺ \frac{p_{11} p_{22}}{p_{12} p_{21}} = 1

$\begin{equation} \log \{(p_{11}p_{22}) / (p_{12}p_{21})\} = 0~~\Longleftrightarrow~~\frac{p_{11}p_{22}}{p_{12}p_{21}} = 1 \end{equation}$

すべての周辺和を固定とすると，

y_{11}

$y_{11}$ の値が決まれば，

y_{12}, y_{21}, y_{22}

$y_{12},~y_{21},~y_{22}$ が決まる．

z = \frac{y_{11} - \frac{y_{1 \cdot} y_{\cdot 1}}{N}}{\sqrt{\frac{y_{1 \cdot} y_{2 \cdot} y_{\cdot 1} y_{\cdot 2}}{N^{2} (N - 1)}}} \sim N (0, 1)

$\begin{equation} z = \frac{\ds y_{11} - \frac{y_{1\cdot}y_{\cdot 1}}{N}}{\ds\sqrt{\frac{y_{1\cdot}y_{2\cdot}y_{\cdot 1}y_{\cdot 2}}{N^2(N - 1)}}}~\sim~N(0, 1) \end{equation}$

標準正規分布に従う確率変数の二乗は，

χ^{2}

$\chi^2$ 分布に従うので，

z^{2}

$z^2$ を求めてみると，

z^{2} = \frac{{(y_{11} - \frac{y_{1 \cdot} y_{\cdot 1}}{N})}^{2}}{\frac{y_{1 \cdot} y_{2 \cdot} y_{\cdot 1} y_{\cdot 2}}{N^{2} (N - 1)}} \sim χ^{2} (1)

$\begin{equation} z^2 = \frac{\ds \left(y_{11} - \frac{y_{1\cdot}y_{\cdot 1}}{N}\right)^2}{\ds\frac{y_{1\cdot}y_{2\cdot}y_{\cdot 1}y_{\cdot 2}}{N^2(N - 1)}}~\sim~\chi^2(1) \end{equation}$

右辺を変形すると，

\begin{aligned} z^{2} & = \frac{N^{2} (N - 1) {(y_{11} - \frac{y_{1 \cdot} y_{\cdot 1}}{N})}^{2}}{y_{1 \cdot} y_{2 \cdot} y_{\cdot 1} y_{\cdot 2}} \\ = \frac{(N - 1) {(N y_{11} - y_{1 \cdot} y_{\cdot 1})}^{2}}{y_{1 \cdot} y_{2 \cdot} y_{\cdot 1} y_{\cdot 2}} \\ = \frac{(N - 1) {(y_{11} + y_{12} + y_{21} + y_{22}) y_{11} - (y_{11} + y_{12}) (y_{11} + y_{21})}^{2}}{y_{1 \cdot} y_{2 \cdot} y_{\cdot 1} y_{\cdot 2}} \\ = \frac{(N - 1) {(y_{11} y_{22} - y_{12} y_{21})}^{2}}{y_{1 \cdot} y_{2 \cdot} y_{\cdot 1} y_{\cdot 2}} \end{aligned}

$\begin{align} z^2 &= \dfrac{N^2(N - 1)\left(y_{11} - \frac{y_{1\cdot}y_{\cdot 1}}{N}\right)^2}{y_{1\cdot}y_{2\cdot}y_{\cdot 1}y_{\cdot 2}} \\ &= \dfrac{(N - 1)\left(Ny_{11} - y_{1\cdot}y_{\cdot 1}\right)^2}{y_{1\cdot}y_{2\cdot}y_{\cdot 1}y_{\cdot 2}} \\ &= \dfrac{(N - 1)\left\{(y_{11} + y_{12} + y_{21} + y_{22})y_{11} - (y_{11} + y_{12})(y_{11} + y_{21})\right\}^2}{y_{1\cdot}y_{2\cdot}y_{\cdot 1}y_{\cdot 2}} \\ &= \dfrac{(N - 1)\left(y_{11}y_{22} -y_{12}y_{21}\right)^2}{y_{1\cdot}y_{2\cdot}y_{\cdot 1}y_{\cdot 2}} \\ \end{align}$

適合度

χ^{2}

$\chi^2$ 統計量

y

$y$ は，

2 \times 2

$2 \times 2$ 分割表なので、

y = \frac{N {(y_{11} y_{22} - y_{12} y_{21})}^{2}}{y_{1 \cdot} y_{2 \cdot} y_{\cdot 1} y_{\cdot 2}}

$\begin{equation} y = \dfrac{N\left(y_{11}y_{22} -y_{12}y_{21}\right)^2}{y_{1\cdot}y_{2\cdot}y_{\cdot 1}y_{\cdot 2}} \end{equation}$

よって，超幾何分布の正規近似による統計量

z

$z$ と，適合度

χ^{2}

$\chi^2$ 検定の検定統計量

y

$y$ とは，次の関係がある．

z^{2} = \frac{N - 1}{N} y

$\begin{equation} z^2 = \frac{N-1}{N}y \end{equation}$

統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説 2014年11月30日 (日) 試験

統計応用 問5 [4]

設問の要約

ヒント

解答例

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統計応用問5 [4]