統計検定 1級過去問解答/解答例と解説
2014年11月30日 (日) 試験

統計応用問3 [3]

設問の要約

$\lambda$ の最尤推定値を導出せよ．
表 3.1 のデータから具体的にその値を求めよ．

解答例

故障を観測した回数を $n = 8$ とおく，故障が生じるまでの日数の和 $W_d$ は，

W_{d} = 3 + 4 + 4 + 5 + 7 + 9 + 12 + 14 = 58

$\begin{equation} W_d = 3 + 4 + 4 + 5 + 7 + 9 + 12 + 14 = 58 \end{equation}$

打ち切りが生じるまでの日数の和

W_{u}

$W_u$ は，

W_{u} = 5 + 7 = 12

$\begin{equation} W_u = 5 + 7 = 12 \end{equation}$

λ

$\lambda$ の最尤推定値

\hat{λ}

$\hat{\lambda}$ を求める．

i

$i$ 回目に打ち切りが発生した日数を

c_{i}

$c_i$ とおくと，尤度関数

L (λ)

$L(\lambda)$ は，

\begin{aligned} L (λ) & = \prod_{i = 1}^{n} f (t_{i} ∣ λ) \cdot \prod_{j = 1}^{m} P (T > c_{j} ∣ λ) \\ = \prod_{i = 1}^{n} λ e^{- λ t_{i}} \cdot \prod_{j = 1}^{m} e^{- λ c_{j}} \\ = λ^{n} \exp [- λ (\sum_{i = 1}^{n} t_{i} + \sum_{j = 1}^{m} c_{j})] \end{aligned}

$\begin{align} L(\lambda) &= \prod_{i=1}^{n}f(t_i \mid \lambda) \cdot \prod_{j=1}^{m}P(T > c_j \mid \lambda) \\ &= \prod_{i=1}^{n}\lambda\,e^{-\lambda t_i} \cdot \prod_{j=1}^{m} e^{-\lambda c_j} \\ &= \lambda^{n} \exp\left[-\lambda\left(\sum_{i=1}^{n}t_i+ \sum_{j=1}^{m}c_j\right)\right] \end{align}$

l (λ) = \log L (λ) = n \log λ - λ (\sum_{i = 1}^{n} t_{i} + \sum_{j = 1}^{m} c_{j})

$\begin{equation} l(\lambda) = \log L(\lambda) = n \log \lambda - \lambda\left(\sum_{i=1}^{n}t_i+ \sum_{j=1}^{m}c_j\right) \end{equation}$

λ

$\lambda$ で微分して 0 とおくと，

\frac{d}{d λ} l (λ) = n \frac{1}{λ} - (\sum_{i = 1}^{n} t_{i} + \sum_{j = 1}^{m} c_{j}) = 0

$\begin{equation} \frac{d}{d\lambda} l(\lambda) = n \frac{1}{\lambda} - \left(\sum_{i=1}^{n}t_i+ \sum_{j=1}^{m}c_j\right) = 0 \end{equation}$

∴ \hat{λ} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} t_{i} + \sum_{j = 1}^{m} c_{j}}

$\begin{equation} \therefore~\hat{\lambda} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n}t_i+ \sum_{j=1}^{m}c_j} \end{equation}$

これより，

\hat{λ} = \frac{n}{W_{d} + W_{u}} = \frac{8}{58 + 12} = 0.114

$\begin{equation} \hat{\lambda} = \frac{n}{W_d + W_u} = \frac{8}{58 + 12} = 0.114 \end{equation}$

統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説 2014年11月30日 (日) 試験

統計応用 問3 [3]

設問の要約

解答例

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2014年11月30日 (日) 試験

統計応用問3 [3]