第3講統計的推定

スコア関数

スコア関数は次のように定義される．

S (x; θ) = \frac{d}{d θ} \log f (x; θ)

$\begin{equation} S(x;~\theta) = \frac{d}{d\theta}\log f(x;~\theta) \end{equation}$

次の性質が成りたつ．

\begin{aligned} E [S (x; θ)] & = \int (\frac{d}{d θ} \log f (x; θ)) f (x; θ) d x \\ = \int \frac{d}{d θ} f (x; θ) d x \\ = \frac{d}{d θ} \int f (x; θ) d x \\ = \frac{d}{d θ} 1 \\ = 0 \end{aligned}

$\begin{align} E[S(x;~\theta)] &= \int\left(\frac{d}{d\theta}\log f(x;~\theta)\right)f(x;~\theta)\,dx \\ &= \int \frac{d}{d\theta} f(x;~\theta)\,dx \\ &= \frac{d}{d\theta}\int f(x;~\theta)\,dx \\ &= \frac{d}{d\theta}1 \\ &= 0 \end{align}$

第3講 統計的推定

スコア関数

第3講統計的推定