第1講 確率と確率変数
X+Y の分布
$X,~Y$ が独立で，それぞれ密度関数 $f_{X}(x),~f_Y(y)$ を持つとき，$U = X + Y$ の密度関数を求めてみる．
$u = x + y,~v = x$ とおくと，$x = v,~y = u - v$であることから，ヤコビアン $J$ を求めると，
\begin{equation}
J
=
\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
0 & 1 \\
1 & -1
\end{vmatrix}
= -1
\end{equation}
よって，
\begin{equation}
|J| = 1
\end{equation}
$(X,~Y)$ の密度関数 $f_{XY}(x, y)$ は，$X,~Y$ が独立であることから，
\begin{equation}
f_{XY}(x, y) = f_{X}(x)\,f_Y(y)
\end{equation}
これより，$(U,~V)$ の密度関数 $f_{UV}(u, v)$ は，
\begin{equation}
f_{UV}(u, v) = f_{XY}(v, u - v)\,|J| = f_{X}(v)\,f_Y(u - v)
\end{equation}
よって，$U$ の密度関数 $f_{U}(u)$ は，
\begin{equation}
f_{U}(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{UV}(u, v)\,dv = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(v)\,f_Y(u - v)\,dv
\end{equation}