第1講確率と確率変数

大数の弱法則

$X_{1},~X_{2},~\ldots,X_{n}$ は独立で同分布とし， $E[X_i] = \mu,~V[X_i] = \sigma$ のとき，

\bar{X} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{n}

$\begin{equation} \bar{X} = \frac{X_{1} + X_{2} + \cdots + X_{n}}{n} \end{equation}$

とすると，

\bar{X} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{n} \to μ (n \to \infty)

$\begin{equation} \bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n} \to \mu~~~~(n \to \infty) \end{equation}$

または，

P (| \bar{X} - μ | \geq ϵ) \to 0 (n \to \infty)

$\begin{equation} P\left(|\bar{X} - \mu| \ge \epsilon\right) \to 0~~~~(n \to \infty) \end{equation}$

これを，

\bar{X}

$\bar{X}$ が

μ

$\mu$ に確率収束するという．

\bar{X} \sim N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$\begin{equation} \bar{X} \sim N\left(\mu,~\frac{\sigma^2}{n}\right) \end{equation}$

チェビチェフの不等式より，

P (| \bar{X} - μ | \geq ϵ) \leq \frac{σ^{2}}{n ϵ^{2}} \to 0 (n \to \infty)

$\begin{equation} P\left(|\bar{X} - \mu | \ge \epsilon\right) \le \frac{\sigma^2}{n \epsilon^{2}} \to 0~~~~(n \to \infty) \end{equation}$