第1講確率と確率変数

チェビチェフの不等式

P (| X - μ | \geq ϵ) \leq \frac{σ^{2}}{ϵ^{2}}

$\begin{equation} P(|X - \mu | \ge \epsilon) \le \frac{\sigma^2}{\epsilon^{2}} \end{equation}$

[証明]

$I = \{x : |x- \mu | \ge \epsilon\}$ とおくと，被積分関数 $\ge 0$ であるから，

\begin{aligned} σ^{2} & = \int_{- \infty}^{\infty} (x - μ)^{2} f (x) d x \\ \geq \int_{I} (x - μ)^{2} f (x) d x \\ \geq ϵ^{2} \int_{I} f (x) d x \\ = ϵ^{2} \cdot P (| X - μ | \geq ϵ) \end{aligned}

$\begin{align} \sigma^{2} &= \int_{-\infty}^{\infty}(x - \mu)^{2}f(x)dx \\ &\ge \int_{I}(x - \mu)^{2}f(x)dx \\ &\ge \epsilon^{2}\int_{I}f(x)dx \\ &= \epsilon^{2}\cdot P(|X - \mu| \ge \epsilon) \end{align}$

両辺を

ϵ^{2}

$\epsilon^{2}$ で割れば，

P (| X - μ | \geq ϵ) \leq \frac{σ^{2}}{ϵ^{2}}

$\begin{equation} P(|X - \mu | \ge \epsilon) \le \frac{\sigma^2}{\epsilon^{2}} \end{equation}$

第1講 確率と確率変数

チェビチェフの不等式

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