第1講 確率と確率変数

積率母関数

積率母関数の定義

確率変数 X に対し,etX の期待値を t の関数としたものを積率母関数,または,モーメント母関数という.

MX(t)=E[etX]

確率母関数の性質

  • MX(n)(t)=E[XnetX]

  • MX(n)(0)=E[Xn]=μr

  • E[X]=MX(0)

  • V[X]=MX(0)(MX(0))2

  • XY は独立

     MX+Y(t)=MX(t)MY(t)

etX をマクローリン展開すると,

MX(t)=E[1+t1!X+(tX)22!+(tX)33!+]=1+t1!E[X]+t22!E[X2]+t33!E[X3]+=1+t1!MX(1)(0)+t22!MX(2)(0)+t33!MX(3)(0)+