第1講確率と確率変数

条件付き期待値

条件付き期待値の性質

$E[Y \mid X = x]$ は $x$ の関数である． $E[Y \mid X]$ は $X$ の関数となるので，確率変数である．

E [Y] = E [E [Y ∣ X]]

$\begin{equation} E[Y] = E[E[Y \mid X]] \end{equation}$

[証明]

\begin{aligned} E [E [Y ∣ X]] & = \int_{- \infty}^{\infty} {\int_{- \infty}^{\infty} y f (y ∣ x) d y} f_{X} (x) d x \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} y f (y ∣ x) f_{X} (x) d x d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} y f (x, y) d x d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} y {\int_{- \infty}^{\infty} f (x, y) d x} d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} y f_{Y} (y) d y \\ = E [Y] \end{aligned}

$\begin{align} E[E[Y \mid X]] &= \int_{-\infty}^{\infty}\left\{\int_{-\infty}^{\infty}y\,f(y \mid x)\,dy\right\}f_X(x)\,dx \\ &= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}y\,f(y \mid x)\,f_X(x)\,dx\,dy \\ &= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}y\,f(x, y)\,dx\,dy \\ &= \int_{-\infty}^{\infty}y\left\{\int_{-\infty}^{\infty}f(x, y)\,dx\right\}\,dy \\ &= \int_{-\infty}^{\infty}y\,f_Y(y)\,dy \\ &= E[Y] \end{align}$

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条件付き期待値

条件付き期待値の性質

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