第6講各種データ解析法

2 $\times$ 2 分割表

次のような観測値が得られたとする．

水準	$B_{1}$	$B_{2}$	合計 $T_{i \cdot}$
$A_{1}$	$x_{11}$	$x_{12}$	$T_{1\cdot}$
$A_{2}$	$x_{21}$	$x_{22}$	$T_{2\cdot}$
合計 $T_{\cdot j}$	$T_{\cdot 1}$	$T_{\cdot 2}$	$T$

独立性の検定のためには，帰無仮説と確率を次のようにおく．

H_{0} : p_{i j} = p_{i \cdot} \times p_{\cdot j} (i = 1, 2, j = 1, 2)

$\begin{equation} H_{0}~:~~p_{ij} = p_{i\cdot} \times p_{\cdot j}~~(i=1,2,~~j=1,2) \end{equation}$

水準	$B_{1}$	$B_{2}$	合計 $p_{i\cdot}$
$A_{1}$	$p_{11}$	$p_{12}$	$p_{1\cdot}$
$A_{a}$	$p_{21}$	$p_{22}$	$p_{1\cdot}$
合計 $p_{\cdot j}$	$p_{\cdot 1}$	$p_{\cdot 2}$	1

帰無仮説の下で $(A_i,B_j)$ の期待度数は，

T_{i j} = \frac{T_{i \cdot} T_{\cdot j}}{T}

$\begin{equation} T_{ij}=\frac{\ds T_{i\cdot}T_{\cdot j}}{\ds T} \end{equation}$

水準	$B_{1}$	$B_{2}$	合計 $T_{i\cdot}$
$A_{1}$	$t_{11}$	$t_{12}$	$T_{1\cdot}$
$A_{2}$	$t_{21}$	$t_{22}$	$T_{2\cdot}$
合計 $T_{\cdot j}$	$T_{\cdot 1}$	$T_{\cdot 2}$	$T$

$\chi^{2}$ 検定は，

χ^{2} = \sum_{i = 1}^{2} \sum_{j = 1}^{2} \frac{(x_{i j} - t_{i j})^{2}}{t_{i j}} = \frac{T \times (x_{11} x_{22} - x_{12} x_{21})^{2}}{T_{1 \cdot} T_{2 \cdot} T_{\cdot 1} T_{\cdot 2}} \sim χ^{2} (1)

$\begin{equation} \chi^{2} = \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\frac{(x_{ij}-t_{ij})^{2}}{t_{ij}} = \frac{T \times (x_{11}x_{22} - x_{12}x_{21})^{2}}{T_{1\cdot}T_{2\cdot}T_{\cdot 1}T_{\cdot 2}} ~\sim~\chi^{2}(1) \end{equation}$

イエーツの補正

このとき，イエーツの補正を用いた $\chi^{2}$ 検定は，

χ^{2} = \frac{T \times (| x_{11} x_{22} - x_{12} x_{21} | - T / 2)^{2}}{T_{1 \cdot} T_{2 \cdot} T_{\cdot 1} T_{\cdot 2}}

$\begin{equation} \chi^{2} = \frac{T \times (|x_{11}x_{22} - x_{12}x_{21}| -T/2)^{2}}{T_{1\cdot}T_{2\cdot}T_{\cdot 1}T_{\cdot 2}} \end{equation}$

第6講 各種データ解析法

2×\times2 分割表

イエーツの補正

第6講各種データ解析法

2 $\times$ 2 分割表